西周时期的数学水平怎么样，我们今天已无法看到，从古代典籍中所留下来的一些记载来看，数学并不是学习中的主要内容，与礼、乐、射、御相比，其所占的比例十分小，不仅此时如此，即在整个知识体系和学术思想中，像数学这样的自然科学也没有清晰的面目，它们通常被划归于“数术类”。“数术类”是个很庞杂的门类，它包括很多我们今天归为自然科学的知识，如数学、地理、天文等，也包括一些巫术的内容，比如占卜、符瑞、天象、风水等。二者是混合在一起的，有些分类在今天看来是十分荒谬的。举个例子来说，比如“符瑞”这个门类，其中往往记载日蚀、月食、彗星、陨星等天文现象，在古人那里这属于灾异，是凶兆，而不是天文学知识。这是我们知识体系上的差别造成的，而不是知识本身的不同。

虽然数学在古时，其内容和水平有限，但这并不意味着，这一门知识不重要，不发达，相反，数学的运用十分广泛，在某些方面的成就甚至超出了我们的想象，几乎可以用超级早熟来形容，这就是天算。按照周礼的规定，周天子要在新年伊始颁发日历，以确立农时。历法的制定除了天文观测积累经验外，更多的要靠数学运算。而这个运算过程相当复杂。在古代流传下来一本书，叫做《周髀算经》，它是一部以盖天说为中心的天文学著作，年代无法准确估算，其上限甚至可以追溯到西周初年，其下限或许可以定在西汉初期，即公元前二世纪前期。这本书中涉及到很多数学知识，大体上保留了先秦时代的知识。

这本书开篇就讨论直三角形，演说勾股定理。这里我们不妨引用一段书中的内容。（采自李约瑟《中国科学技术史》第三卷“数学”，中译本。）

从前，周公问商高说：“我听说，大夫（指商高）很精通数的艺术。是不是可请您谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的？天是没有一种梯子能登攀得上的，地也无法用尺子来测量。因此我很想问问您，这些数字是从哪里来的？”

商高回答说：“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自方形，而方形则出自矩形（字面上即指丁字尺或木工用的曲尺）。矩形出自9×9＝81这个事实（即乘法表或数的诸如此类的性质）。设把一个矩形沿对角线切开，让宽等于3个单位，长等于4个单位。这样，两个对角之间的对角线的长度就等于5单位。现在用这条对角线作为边长画一个正方形，再用几个同外面那个半矩形相似的半矩形把这个这个正方形围起来，形成一个方形盘。这样，外面那四个宽为3、长为4、对角线为5的半矩形，合在一起便构成两个矩形，总面积等于24；然后从方形盘的总面积49减去24，便得到余数25。这种方法成为‘积矩’。大禹所用的治天下的方法，就是从这些数字发展出来的。”

周公感叹说：“数这门艺术真是了不起啊！我想再请教应用直角三角形（字面上指丁字尺）的道理。”

商高回答说：“使直角三角形平卧在地上，可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把直角三角形竖立起来，可以测量高度。倒立的直角三角形可用来测量深浅，而平放的直角三角形则可用来测出距离。”

“让直角三角形旋转（规），可以画出圆形，把几个直角三角形合在一起，可以得到正方形和长方形。方形属于地，而圆形则属于天，所以天是圆的，而地则是方的。方形的数是标准，从方形的数可以推出圆形的大小来。”

“天想一个笠子。天的颜色是蓝的和黑的，地的颜色是黄的和红的。可以用一个按照天的数之称的圆盘来表示天，朝上的一面像外表面一样，是蓝色和黑色的；朝下的一面像内表面一样，是红色和黄色的，这就把天和地的形象再现出来了。”

“对地有所了解的人是聪明人，而对天有所了解的人则是圣人。知识出自直线，而直线则出自直角。因此，直角和数结合起来，就是指导和统治万物的东西。” 周公感慨地说：“这确实是太妙了！”

这一段文字中涉及了极为丰富的数学知识和天文知识。所谓的盖天说，就是我们通常所说的“天圆地方”。虽然在后来的实际观测和运算中，太阳的轨迹和四季的变化使人们不得不诉诸于更好的天文学说，即东汉大科学家张衡主张的浑天说，但此时的认识尚未达到。不过，让人惊异的是，即使理论前提不怎么准确，但仍然能制定出比较实用的历法来。这是什么原因呢？

对天要有认识，便要计算天的高度，于是便推动了直角三角形理论的发展，上面文字首先说天无法实测，于是便要一个媒介，媒介就是我们日常生活中最熟悉不过的直角三角形。这是经验中获得的，虽然简单，但运用之妙，可谓变化无穷。就其所举的例子，我们可以看出，古人对直角三角形的运用是非常熟练，树立起来就测算高度，倒立可以测算深度，放平就可以测算长度。除了借助它来计算长度距离，还可以用来计算面积，并将圆也联系起来。现在读起来，仿佛看见古人侃侃而言，不觉相会于心，相忘于道术。这段文字中，还描述了乘法表，这表明四则运算已经成熟；勾股定理如今看似简单，但隐藏在背后的却是一个难题，这就是开放，虽然我们不能说那个时候普遍意识到开方知识，但在实际的运算中肯定要涉及到开方。他们能总结出这个定律，说明他们已经解决了这个难题，无论是理论上还是经验上，他们似乎已经具有了相当成熟的数学思维。另外，这里还隐含了比例问题，求天圆的过程中，这一点必不可少。就整部书的内容来看，里面还包涵有大量的分数问题。就整部书而言，其知识的容量有点超出我的想象。（作者：李俊? 单位：中国人民大学国学院）